El mundo financiero y la Estadística. (Teoría del Proceso Estocástico Browniano)

La metodología estocástica en el mundo financiero  fue propuesta por Case y Shiller (1989), la cual se fundamenta en retomar de forma consecutiva los precios cada vez que estos se transan en periodos de tiempo t, en donde el comportamiento de los precios se caracterizan como un proceso estocástico el cual postula que el cambio en el precio de las acciones es aleatorio e impredecible, entonces se propone utilizar 
el método Browniano el cual es un caso particular del proceso estocástico Markov[1] con media cero y varianza uno por un periodo T.
Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias definida sobre un espacio de probabilidad.
Tendremos que X es una función de dos argumentos. Fijado w=w0, obtenemos una función determinista,El espacio de estados S de un proceso estocástico es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar dicho proceso.

Para esclarecer el tema, se propone un ejemplo de proceso estocástico adaptado al mercado de acciones:

 Sea el precio de una acción la cual se cotiza en 6 momentos diferentes de tiempos. Digamos que la acción genera $1 ganancia cada vez que sube el precio de la acción y genera $1 pérdida cada vez que baje la cotización de la acción.

• X_i : estado de cuentas del accionista después de la i-ésima transacción
• La familia de variables aleatorias {X₁, X₂,…, X₆} constituye un proceso estocástico
•  = {GGGGGG,GGGGGP,…}
•  = 64
• P(w)=1/64  " wÎW
• T={1, 2, 3, 4, 5, 6}
• S={–6, –5, …, –1, 0, 1, 2, …, 5, 6}
• X₁()={–1, 1}
• X₂()={–2, 0, 2}

 Si fijo ω, por ejemplo ω₀=GGPPPG, obtengo una secuencia de valores completamente determinista:

• X₁(w0)=1, X₂(w0)=2, X₃(w0)=1, X₄(w0)=0, X₅(w0)= –1, X₆(w0)=0

Este proceso estocástico se ha utilizado en la física para describir el movimiento de una partícula, también llamado movimiento Browniano, descubierto en 1827 por el botánico R. Brown quien observó en un microscopio, a partir de una lámina sumergida en agua, cómo el movimiento de una partícula se veía influenciado por pequeñas moléculas que se movían incesantemente y la bombardeaban, provocando un movimiento en zig-zag aleatorio.

La explicación formal matemática del movimiento fue dada por Eistein[1] en 1905 lo cual le ayudó a construir la prueba irrefutable de la teoría molecular, casi simultáneamente Louis Bachelier[2] introduce en su tesis doctoral que las variaciones de los precios especulativos se distribuyen de manera gaussiana, lo cual fue una generalización en tiempo continuo del paseo aleatorio a lo que hoy se conoce como proceso estocástico Browniano. Pero no fue hasta mediados de los años 60 cuando Paul Samuelson[3] retoma el trabajo pionero de Bachelier, lo que sirvió de base para la elaboración de los modelos matemáticos de Fisher Black y Myron Scholes (1973), los cuales se convirtieron en uno de los instrumentos más usados por los mercados financieros.

 Las apreciaciones de Black y Scholes no hubieran tenido sentido si faltaran las bases teóricas que propuso Kiyoshi Ito (1942), actualmente conocidas como el lema de Ito[4], el cual enuncia el comportamiento aleatorio por medio de una compleja ecuación. Así, se podría decir que Scholes adaptó el lema de Ito para producir una nueva fórmula que es aplicable a la fluctuación de los precios.

 La importancia del proceso estocástico se encuentra en la gran aplicación hacia los mercados financieros, permitiendo representar más fielmente la volatilidad de las acciones, que han sido transadas en un determinado tiempo t, con el objetivo de asegurar ganancias a largo plazo y minimizar las pérdidas en un momento dado. La variabilidad de los precios de las acciones parece adaptarse a un modelo browniano o también llamado proceso Wiener que a su vez es un caso particular de un proceso estocástico Markoviano.

 Una manera sencilla de ver el movimiento Browniano es utilizando el tablero de Galton en donde se lanza desde la parte superior una pelota (partícula browniana) en su moviendo hacia abajo tropieza con unos clavos dispuestos simétricamente (moléculas) se desplaza con una distancia x y una misma probabilidad tanto para la derecha como la izquierda; después de n choques, la pelota ocupa una posición igualmente espaciada  sobre la recta horizontal , cayendo en el intervalo  con cierta probabilidad

De forma análoga al modelo discreto, la partícula cambia su posición solo en momentos discretos de tiempo, múltiplos de . El cambio de posición ocurre de tal forma que encontrándose en un punto x, la partícula se comporta de manera independiente a su posición anterior al pasar con las mismas probabilidades a uno de los puntos vecinos ó siendo una misma desviación para todos los puntos x

En los activos financieros, el modelo Wiener asume la hipótesis de la existencia de un mercado eficiente, en su forma débil, ya que las variaciones de precio son completamente aleatorias y solo ocurren cuando aparece nueva información. Por su parte, la aparición de nueva información en el mercado también es aleatoria. El proceso Wiener puede ser extendido al uso de los activos financieros a través de un modelo general.

De esta forma, se establece que el cambio de los precios de los activos financieros obedece a un concepto de rentabilidad esperada por el diferencial de tiempo transcurrido más un factor de volatilidad de carácter aleatorio. Retomando el modelo planteado por Bachelier (1900).

La variabilidad de los precios de las acciones parece adaptarse a un modelo browniano o también llamado proceso Wiener que a su vez es un caso particular de un proceso estocástico Markoviano.

 El uso de estos modelos matemáticos es hoy día una base importante para la interpretación, predicción y control de información en cualquier área financiera. 

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[1] EINSTEIN, A. “Uber die von der molekularkinetischen Theorie der W¨arme geforderte Bewegung von in ruhenden Fl¨ussigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik”. (1905) P. 549–560

[2] BACHELIER, L.: Th´eorie de la Sp´eculation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 17 (1900) 21– 86 [English translation in P. Cootner (ed.) The Random Character of Stock Prices. MIT Press, 1964, reprinted Risk Books, London 2000]

[3] SAMUELSON, P. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly. Industrial Management Review 6, (1965) p. 41-50

[4] Lema de Ito: Si una variablesigue un proceso de Winer,  y es una función de y entonces:

  

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[1] Un proceso Markov es un tipo especial de proceso estocástico donde sólo el valor presente de la variable es relevante para predecir el futuro. La historia pasada de la variable y el camino seguido por ésta para llegar al valor presente son irrelevantes.