La metodología estocástica en el mundo financiero fue propuesta por Case y Shiller (1989), la cual se
fundamenta en retomar de forma consecutiva los precios cada vez que estos se
transan en periodos de tiempo t, en
donde el comportamiento de los precios se caracterizan como un proceso
estocástico el cual postula que el cambio en el precio de las acciones
es aleatorio e impredecible, entonces se propone utilizar
el método Browniano el cual es un caso particular del proceso estocástico Markov[1] con media cero y varianza uno por un periodo T.
Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias definida sobre un espacio de probabilidad.
Tendremos que X es una función de dos argumentos. Fijado w=w0, obtenemos una función determinista,El espacio de estados S de un proceso estocástico es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar dicho proceso.
el método Browniano el cual es un caso particular del proceso estocástico Markov[1] con media cero y varianza uno por un periodo T.
Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias definida sobre un espacio de probabilidad.
Tendremos que X es una función de dos argumentos. Fijado w=w0, obtenemos una función determinista,El espacio de estados S de un proceso estocástico es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar dicho proceso.
Para esclarecer el tema, se propone un ejemplo de
proceso estocástico adaptado al mercado de acciones:
- Xi : estado de cuentas del accionista después de la i-ésima transacción
- La familia de variables aleatorias {X1, X2,…, X6} constituye un proceso estocástico
= {GGGGGG,GGGGGP,…}
= 64- P(w)=1/64 " wÎW
- T={1, 2, 3, 4, 5, 6}
- S={–6, –5, …, –1, 0, 1, 2, …, 5, 6}
- X1()={–1, 1}
- X2()={–2,
0, 2}
- X1(w0)=1, X2(w0)=2, X3(w0)=1, X4(w0)=0, X5(w0)= –1, X6(w0)=0
La explicación formal matemática del movimiento fue
dada por Eistein[1]
en 1905 lo cual le ayudó a construir la prueba irrefutable de la teoría
molecular, casi simultáneamente Louis Bachelier[2]
introduce en su tesis doctoral que las variaciones de los precios especulativos
se distribuyen de manera gaussiana, lo cual fue una generalización en tiempo
continuo del paseo aleatorio a lo que hoy se conoce como proceso estocástico
Browniano. Pero no fue hasta
mediados de los años 60 cuando Paul Samuelson[3] retoma el trabajo pionero
de Bachelier, lo que sirvió de base para la elaboración de los modelos
matemáticos de Fisher Black y Myron Scholes (1973), los cuales se convirtieron en uno de los
instrumentos más usados por los mercados financieros.
Las apreciaciones de Black y Scholes no hubieran tenido sentido si
faltaran las bases teóricas que propuso Kiyoshi
Ito (1942), actualmente conocidas
como el lema de Ito[4], el cual enuncia el
comportamiento aleatorio por medio de una compleja ecuación. Así, se podría
decir que Scholes adaptó el lema de Ito para producir una nueva fórmula que
es aplicable a la fluctuación de los precios.
La importancia del proceso
estocástico se encuentra en la gran aplicación hacia los mercados financieros,
permitiendo representar más fielmente la volatilidad de las acciones, que han
sido transadas en un determinado tiempo t,
con el objetivo de asegurar ganancias a largo plazo y minimizar las pérdidas en
un momento dado. La variabilidad de los precios de las acciones parece
adaptarse a un modelo browniano o también llamado proceso Wiener que a su vez
es un caso particular de un proceso estocástico Markoviano.
Una manera sencilla de ver el movimiento Browniano es
utilizando el tablero de Galton en donde se lanza desde la parte superior una
pelota (partícula browniana) en su moviendo hacia abajo tropieza con unos
clavos dispuestos simétricamente (moléculas) se desplaza con una distancia x y una misma
probabilidad tanto para la derecha como la izquierda; después de n choques, la
pelota ocupa una posición igualmente espaciada sobre la recta
horizontal , cayendo en el intervalo
con cierta probabilidad
De forma análoga al modelo discreto, la partícula cambia su posición solo en momentos discretos de tiempo, múltiplos de 
. El cambio de posición ocurre de tal forma que encontrándose en un punto x, la partícula se comporta de manera independiente a su posición anterior al pasar con las mismas probabilidades a uno de los puntos vecinos 
ó 
siendo una misma desviación 
para todos los puntos x
En los activos financieros, el modelo Wiener asume la hipótesis de la existencia de un mercado eficiente, en su forma débil, ya que las variaciones de precio son completamente aleatorias y solo ocurren cuando aparece nueva información. Por su parte, la aparición de nueva información en el mercado también es aleatoria. El proceso Wiener puede ser extendido al uso de los activos financieros a través de un modelo general.. El cambio de posición ocurre de tal forma que encontrándose en un punto x, la partícula se comporta de manera independiente a su posición anterior al pasar con las mismas probabilidades a uno de los puntos vecinos ó siendo una misma desviación para todos los puntos x
De esta forma, se establece que el cambio de los precios de los activos financieros obedece a un concepto de rentabilidad esperada por el diferencial de tiempo transcurrido más un factor de volatilidad de carácter aleatorio. Retomando el modelo planteado por Bachelier (1900).
La variabilidad de los
precios de las acciones parece adaptarse a un modelo browniano o también
llamado proceso Wiener que a su vez es un caso particular de un proceso
estocástico Markoviano.
El uso de estos
modelos matemáticos es hoy día una base importante para la interpretación,
predicción y control de información en cualquier área financiera.
[1] EINSTEIN, A. “Uber die von der molekularkinetischen
Theorie der W¨arme geforderte Bewegung von in ruhenden Fl¨ussigkeiten
suspendierten Teilchen. Annalen
der Physik”. (1905) P. 549–560
[2] BACHELIER, L.: Th´eorie de la Sp ´eculation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 17 (1900) 21– 86 [English translation in P. Cootner (ed.) The Random Character of Stock Prices.
MIT Press, 1964, reprinted Risk Books, London 2000]
[3] SAMUELSON, P. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly.
Industrial Management Review 6, (1965) p. 41-50
[1] Un proceso Markov es un tipo especial de proceso
estocástico donde sólo el valor presente de la variable es relevante para
predecir el futuro. La historia pasada de la variable y el camino seguido por
ésta para llegar al valor presente son irrelevantes.
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